分步法

正文　　把复杂的问题的每个时间步分解成若干个中间步，例如把多维问题按坐标分解成几个一维问题，然后用差分法解这些比较简单的各中间步，最后得到原始问题的近似解，这类方法叫作分步法。交替方向隐式法、预测校正法、局部一维方法、时间分裂法等都属此类。 　　1955年D.W.毕斯曼与H.H.瑞契福特在(x，y)平面上用交替方向隐式法（简称ADI方法）,解二维热传导问题

　　　(1)

时，对与进行不同处理,一个取成显式(显式差分方法)，一个取成隐式(隐式差分方法),并依次交替以保持对称性。取Δx＝Δy＝h时，可得出如下格式 格式(2)用了两步合成一个循环,一般称之为P-R格式。由于P-R格式交替地沿各个空间方向作一维隐式计算,也称为交替方向隐式法,(2)的每个方程组都是系数矩阵为三对直线矩阵的线性方程组,容易求解,从(2)中消去经整理可得

把方程(1)的光滑解代入上式，其截断误差为O(h²+Δt²)，这表明P-R格式具有二阶精度。格式(2)的增长因子是

式中(j=1，2)。由于λ对任何都有│λ│≤1 因此P-R格式(2)是无条件稳定的。P-R格式不宜向三维问题推广，J.道格拉斯和瑞契福特又提出了一种三维问题的交替方向隐式法,也称D-R方法。考虑三维热传导方程

　　　(3)

取空间步长D-R方法就是

　　　(4)

在(4)中消去,，可得等价格式

这可说明(4)与微分方程(3)相容，(5)的增长因子是

式中 (j=1,2,3)。对于一切，│λ│≤1，因此 D-R格式(4)是无条件稳定的。交替方向隐式格式除上述两种外，还有其他各种变形格式，ADI方法从uⁿ计算uⁿ⁺¹要分几步完成,中间要计算或,等。 　　对于热传导方程(3),H.H.亚年科1959年还提出了更简单的格式

　　　(6)

消去,之后，得等价格式

展开成Δt的幂次式，得

这说明(6)与微分方程(3)相容，(6)的增长因子是

所以对于一切，它是稳定的。通常称(6)是局部一维方法，它也是一种分步方法。上述方法的另一特点是把差分算子分解成为较简单的差分算子的积，因而又称算子分解法。

配图

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